현대 양상논리학 (중간탈주)

현대 양상논리학

프레게나 러셀, 화이트헤드 등이 명제논리학이나 술어논리학, 기호논리학 등을 연구할 때 다른 논리학자들은 중세이래로 방치되었던 양상논리학(modal logic)을 연구하였다. 양상논리학은 필연성과 가능성 개념의 논리학인데 현대 양상논리학 연구는 함언(implication)에 대한 이론을 통해 그 개념들에 접근한다. 이러한 연구는 루이스의 저작에서부터 시작된다. 루이스는 러셀과 화이트헤드가 고안한 개념인 실질 함언(material implication) 이라는 것과 대비하여 엄밀 함언(strict implication) 이라는 개념을 제시하여 이것만이 진정한 함언이라고 주장했다. 그는 이 주장에 이어 실질 함언 기호가 엄밀 함언을 나타내는 새로운 기호로 대체된 공리 체계를 새웠는데 이것이 양상논리학의 최초 형식 체계가 되었다. 그러나 엄밀 함언 역시 실질 함언과 마찬가지로 역설적이라는 비판을 피할 수 없었다.

루이스의 양상에 관한 연구는 그자체로서 흥미로웠는데 그는 S1~S5까지의 서로 다른 공리체계를 제시했고 각각이 정합성 있고 독립적임을 증명했다. 이 중 가장 흥미로운 체계는 S4인데 그 내용은 다음과 같다.

(1). 만일 필연적으로 p라면, p이다.

(2). 만일 필연적으로 p라면, (만일 필연적으로 p라면,[만일 p라면 q이다]라면 필연 적으로 q이다.)

(3). 만일 필연적으로 p라면, 필연적으로 p라는 것이 필연적이다.

이러한 S4는 필연성과 가능성의 상호 정의 가능성을 활용한다. 즉 ‘필연적으로는 가능하게 아닌 것이 아닌’ 으로 정의될 수 있고, ‘가능하게는 필연적으로 아닌 것이 아닌’ 으로 정의 될 수 있다.

양상논리학에는 수많은 진술들이 있는데 그 진술들의 진리치에 대하여 논리학자들의 의견일치가 전혀 이루어지지 않았다. 가장 큰 논란이 되는 진술들은 양상 연산자가 반복되는 것들인데 이것들의 예로는 S4나 S5가 있다. 이러한 논란은 논리학자들뿐만이 아니라 종교철학자들 사이에서도 존재하는데 그 이유는 신의 실존과 관련한 진술과 S5과 관련 있기 때문이다.

양상 기호와 술어논리학의 양화사 사이에는 공통점이 많은데 ‘필연적인’ 과 ‘가능한’의 상호 정의 가능성은 ‘모든’ 과 ‘약간’의 상호 정의 가능성과 유사하다. 또한 양화 이론의 분배법칙과 유사한 분배법칙이 양상논리학에도 있다. 이러한 유사점에 따라 양화를 양상논리학에 도입하여 양상 기호와 양화사를 함께 사용하면 이중 양화와 유사한 체계가 된다. 양화된 양상논리학에서는 양상 기호와 양화사가 놓인 순서를 살피는 것이 중요한데 이는 그 순서에 따라 문장 해석이 달라지기 때문이다. 양상 기호가 양화사보다 먼저 나오는 문장은 언어 양상(문장 예시는 책에서) 이라하며 양화사가 양상 기호 앞에 나오는 문장은 존재 양상이라 한다.

양화 이론과 양상논리학이 비슷한 점이 있다하여도 동일성 개념을 통해 보았을 경우 그 차이점 역시 드러나게 된다. 그 차이점은 콰인이 말하길 양상논리학은 양화의 문맥과 달리 지칭 대상이 불투명하다는 것이다. (지칭대상의 불투명의 정의는 책 참조) 양상 문맥이 불투명한 경우는 쉽게 발견되는데 대표적인 예로는 행성의 수가 9개 일 때 필연적으로 9는 7보다 크다는 옳지만 필연적으로 행성의 수는 7보다 크다는 옳지 않다. 를 들 수 있다. 이러한 불투명 때문에 콰인은 양상논리학을 거부했지만 1970년대 많은 학자들에 의하여 양상논리학은 꽤 훌륭한 모습을 갖추게 되었다.

현대 양상논리학에서 주요 주제는 필연성을 모든 가능 세계에서 옳은 것으로 정의하고 가능성을 일부 가능 세계에서 옳은 것으로 정의함으로써 양화와 양상 사이의 유사점을 밝히는 것이다. 일반적으로 말해지는 진리는 모든 가능 세계 중 하나인 현실 세계에서만 진리로 간주되는데 가능 세계의 논의에서는 형이상학적 내용을 전혀 포함하지 않아도 된다. 즉 양상 의미론(양상의미론이 이루어지는 예시는 책을 통해서 봅시다)의 경우 어느 모형이든 적절한 형식적 구조를 갖추기만 하면 된다.

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